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并行RLC電路分析
并行RLC電路分析
并聯(lián)RLC電路由一個(gè)電阻器、電容器和電感器組成，它們在其端子處共享相同的電壓：
由于電壓保持不變，并聯(lián)配置的輸入和輸出被視為電流。
對于并聯(lián)配置，總阻抗的倒數(shù)(Z RLC )是每個(gè)組件的反向阻抗之和：1/Z RLC =1/Z R +1/Z L +1/Z C。換句話說，電路的總導(dǎo)納是每個(gè)組件導(dǎo)納的總和。
該總導(dǎo)納滿足：
因此，在取導(dǎo)納范數(shù)后，總阻抗由公式 1給出：
eq 1：并聯(lián)RLC電路的總阻抗
從等式 1可以清楚地看出，當(dāng)1/Lω-Cω=0時(shí)，對于某個(gè) ω 值，阻抗會(huì)達(dá)到峰值。該脈動(dòng)稱為共振脈動(dòng)ω 0（或共振頻率f 0 =ω 0 /2π）并且由ω 0 =1/√(LC)給出。
交流行為
阻抗的快速分析可以揭示并聯(lián)RLC電路的行為。考慮并聯(lián)RLC電路的組件的以下值：R=56 kΩ，L=3 mH，C=5 nF。
根據(jù)這些值，我們可以計(jì)算出系統(tǒng)的共振頻率ω 0 =2.6×10 5 rad/s。該電路由交流電源供電，其幅度為 5 A，頻率從直流變化到 4×10 5 rad/S。
圖 2是總阻抗和輸出電流與提供給電路的角脈動(dòng) ω 的函數(shù)關(guān)系圖：
圖 2：并聯(lián)RLC電路的總阻抗和輸出電流
該圖清楚地表明，在諧振頻率附近，電路的阻抗達(dá)到峰值，這導(dǎo)致在該相同頻率附近的電流輸出降低。
讓我們關(guān)注電路中發(fā)生的事情，更準(zhǔn)確地說是電容器和電感器之間發(fā)生的事情，以了解這種行為。因此，首先考慮一個(gè)電容初始充電的 L//C 配置。下圖顯示了稱為共振的循環(huán)中涉及的步驟：
圖 3：L//C 電路的諧振周期
許多事情必須在圖 3中進(jìn)行注釋。首先，紅色和綠色箭頭分別代表電容器兩端的電場和電感器兩端的磁場。箭頭表示場的方向，充滿電的組件用許多箭頭表示，而放電的組件沒有。
數(shù)字代表循環(huán)的步驟，數(shù)字8之后的下一步是步驟1。正如這一系列圖中所強(qiáng)調(diào)的，諧振現(xiàn)象是由于電容器和電感器之間發(fā)生相互充電和放電造成的。該周期演變的速度由諧振頻率f 0 =1/(2π√(LC)) 給出。
在實(shí)際電路中，這個(gè)循環(huán)當(dāng)然不是永久的，因?yàn)閮?nèi)部電阻器通過焦耳加熱耗散能量。但是，交流電源可以強(qiáng)制電路保持電感器和電容器之間的這種電流交換。
具體來說，當(dāng)ω源=ω 0時(shí)，能量交換最大，所有電流都在這兩個(gè)組件之間流動(dòng)，而主線中沒有電流通過電阻（見圖 4）。另一種理解方式是通過電抗的概念。我們提醒一下，電容器 (X C ) 和電感器 (X L ) 的電抗由下式給出：
eq 2：電容和電感電抗
由ω 0的定義可知，X C (ω 0 )=X L (ω 0 )。由于電感器中的+90°相移和電容器中的 – 90°相移導(dǎo)致 180° 的相位差，因此組件上的電流相等但方向相反。這種現(xiàn)象可以在圖 3中的步驟 2 和 4 或步驟 6 和 8 中看到。
在 ω 0附近工作時(shí)，這種配置通常稱為抑制電路。我們將在下一節(jié)中詳細(xì)介紹這一點(diǎn)，我們將展示一個(gè) L//C 電路可以與一個(gè)電阻器串聯(lián)以創(chuàng)建一個(gè)帶阻濾波器。
替代配置
帶阻濾波器
混合并聯(lián)和串聯(lián)設(shè)計(jì)的一種可能有趣的配置是與輸出負(fù)載串聯(lián)的并聯(lián)LC濾波器，我們將在下面將此電路稱為 (L//C)-R。下面的圖 4給出了這種架構(gòu)的表示：
圖 4：(L//C)-R 電路示意圖
如果我們稱 Z L//C為并聯(lián)LC配置的阻抗，我們可以寫成 V in =V out +Z L//C ×I。知道 I=V out /R 并通過 V out分解表達(dá)式，我們可以在幾步之后寫出 (L//C)-R 電路的傳遞函數(shù)：
eq 2: (L//C)-R 傳遞函數(shù)
我們考慮 L=3 mH，C=5 nF，R=10 kΩ 和 20 kΩ。繪制此傳遞函數(shù)后，很明顯 (L//C)-R 電路充當(dāng)與基本并聯(lián)RLC電路相同頻率 ω 0附近的帶阻濾波器：
圖 5：(L//C)-R 傳遞函數(shù)圖
圖5還強(qiáng)調(diào)了這個(gè)帶阻濾波器的帶寬Δω隨著電阻的增加而變窄的事實(shí)，這與RLC系列文章Q系列中給出的品質(zhì)因數(shù)定義相矛盾=(1/R)√( L/C)=ω 0 /Δω。
事實(shí)上，這個(gè)定義對并聯(lián)電路無效，并聯(lián)配置的公式變?yōu)?span>Q parallel =1/Q series =R√(C/L)，這解釋了之前精確定位的圖 4中的行為。
帶通濾波器
一個(gè)有趣的概念叫做對偶性，使我們能夠直接從另一個(gè)電路的知識中找到新電路的行為。由以下事實(shí)推導(dǎo)出：對某一構(gòu)型施加電流或電壓的方程可以應(yīng)用于對偶構(gòu)型的對偶量。
讓我們更清楚一點(diǎn)，再次考慮上面詳述的帶阻濾波器示例。我們將此配置稱為 (L//C)-R，因?yàn)椴⒙?lián) (//) LC電路與電阻R串聯(lián) (-)。我們已經(jīng)看到該電路充當(dāng)電壓的帶阻濾波器。
該電路的對偶是 (L//R)//R 電路，如圖 6 所示：
圖 6：圖 5 的雙電路
對偶概念告訴我們，這個(gè)對偶電路充當(dāng)帶阻濾波器的對偶，即帶通濾波器。為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，我們可以從寫出 I in =I out +Y L//C ×V out 開始，這與上一節(jié)中顯示的等式相同，但適用于電流，如對偶概念所述。Y L//C是配置 L//C 的導(dǎo)納，等于 1/Z L//C。
知道 V out =R×I out并通過用 I out分解表達(dá)式，得到：
eq 3: (L//C)//R 傳遞函數(shù)
我們可以看到等式 3與等式 2非常相似，但虛數(shù)項(xiàng)是相反的，這導(dǎo)致了帶通濾波器的行為。我們可以再次考慮相同的值 L=3 mH、C=5 nF 和 R=10 kΩ 和 20 kΩ，并繪制此傳遞函數(shù)，以便結(jié)束本節(jié)并確認(rèn)帶通濾波器：
圖 7：(L//C)//R 傳遞函數(shù)圖
結(jié)論
并聯(lián)RLC電路的行為與串聯(lián)配置完全不同。這是由于 L//C 電路的能量相互交換現(xiàn)象稱為共振。
這種現(xiàn)象是由于互連的電感器和電容器之間發(fā)生的相互放電/充電。這種電路的阻抗理論上在特定的脈動(dòng) ω 0處趨于無窮大，稱為諧振脈動(dòng)（或 f 0的諧振頻率）。在實(shí)際電路中，這種阻抗由于內(nèi)部電阻行為而達(dá)到峰值。
輸出負(fù)載串聯(lián)集成，可以制成帶阻濾波器。然而，并聯(lián)連接會(huì)導(dǎo)致相反的濾波器：帶通濾波器